【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第五章变速直线运动 

(资料图片仅供参考)

§5-4匀加速直线运动的速度图线

【01】在讨论匀速直线运动时，我们曾经提到过，物体的运动规律可以用数学公式来表示，也可以用图线来表示。在§5-3中我们已经列出了匀加速直线运动的运动规律的数学表达式，在本节中我们将讨论它的图线表示法。但是限于数学知识，我们这里只讲它的速度图线。

【02】先作初速度等于零、加速度等于2米/秒²的匀加速直线运动的速度图线。根据v=at，计算出运动开始后第一秒末、第二秒末、第三秒末……的速度，并列成下表：

【03】作坐标轴，在时间轴Ot上根据选定的标度从O点起依次截取等长的线段，每一段代表1秒钟。同样地，在速度轴Ov上根据选定的标度从O点起依次截取等长的线段，每一段代表1米/秒（图5·4）。

【04】然后再在图中找出与表中所列各对应值如(0,0)、(1,2)等的点O、A、B、C……来。把这些点联结起来，就得到一条通过坐标原点的倾斜的直线。这就是初速度等于零的匀加速直线运动的速度图线。

【05】如果要画出初速度不等于零，例如v₀=2米/秒，a=1米/秒²的匀加速直线运动的速度图线，则先根据公式v=v₀+at，计算出运动开始后第一秒末、第二秒末、第三秒末……的速度，并列成下表：

【06】同样地，作坐标轴，在时间轴Ot上截取相等的线段，每一线段代表1秒的时间；在速度轴Ov上也截取相等的线段，每一线段代表1米/秒的速度。再在图中找出上表中所列各对应值如(0,2)、(1,3)等的点A、B、C……来。把这些点联结起来，就得到一条不通过坐标原点的倾斜的直线。这就是初速度不等于零的匀加速直线运动的速度图线（图5·5）。

【07】从图5·4和图5·5中可以看出：匀加速直线运动的速度图线是一条倾斜的直线。当初速度等于零时，这条直线通过原点，因为t=0时，物体的速度也等于零；初速度不等于零时，它不通过原点，因为t=0时，物体的速度不等于零。

【08】和上一章所讲的匀速直线运动的速度图线一样，从匀加速直线运动的速度图线中，我们可以得出下列结论：

【09】(1)利用速度图线，很容易求出运动物体在任何时刻的即时速度。同时也可以求出达到某一速度时所用的时间。

【10】(2)如果在同一坐标图中，作几个加速度不同的速度图线，我们很容易看出：加速度越大的运动，它的速度图线越陡；加速度越小的运动，它的速度图线越平。

【11】(3)利用速度图线，可以确定运动物体在一定时间内所通过的路程。图5·6表示从初速度等于零的匀加速直线运动的速度图线求出它在时间t内所通过的路程。这个路程的数值等于这样一个直角三角形的面积（画斜线的部分），斜边是速度图线，底边是时间轴，另一边是与时间轴垂直的由运动时间所决定的直线。图5·7表示从初速度不等于零的匀加速直线运动的速度图线求它在时间t内所通过的路程。这个路程的数值是这样一个梯形的面积（画斜线的部分）：斜边是速度图线，它的对边是时间轴，两条互相平行的边中的一条是速度轴，另一条是与时间轴垂直的由运动时间所决定的直线。

【12】根据数学公式，这个梯形的面积是

【13】这就是运动物体在时间内所通过的路程。可以看出，这个结果和我们前面用其他方法求得的结果相同。如图所示，这一面积也可以看作是一个直角三角形和一个长方形的面积之和。

例5.作v₀=10米/秒，a=-1米/秒²的匀减速直线运动的速度图线。

【解】

根据公式心v=v₀+at，求出运动开始后第一秒末、第二秒末、第三秒末……的速度，并列成下表：

如图5·8所示，作坐标轴，在时间轴Ot上截取相等的线段，每一段代表1秒；在速度轴Ov上也截取相等的线段，每一段代表1米/秒。

再把上表中所列的各对应值的点找出来，联结这些点，就得到一条向下倾斜的直线，这就是我们所要求的速度图线。

与图5·4和5·5比较，我们就知道：匀加速直线运动和匀减速直线运动的速度图线都是一条倾斜的直线。但前者向上升，表示速度越来越大，是加速；后者向下倾，表示速度越来越小，是减速。和匀加速直线运动速度图线一样，利用匀减速直线运动速度图线，也能够求出物体运动的速度和路程等。

例6.升降机从静止开始作匀加速直线运动，上升了5秒钟后，它的速度达到3米/秒，然后就以这个速度上升了6秒钟，最后又作匀减速直线运动上升了3秒钟才停止。求(1)开始上升5秒钟的加速度和这段时间内所通过的路程；(2)作匀减速直线运动时的加速度和3秒钟内所通过的路程；(3)在这14秒钟内上升的总路程；(4)作它们的速度图线，并指出各段时间内所通过的路程。

【解】

(1)升降机从静止开始上升的5秒钟内是作初速度等于零的匀加速运动，所以用公式v=at，得3米/秒=a×5秒  ；∴a=0.6米/秒²，

再用公式S=1/2at²，得到在这5秒钟内升降机上升的路程S₁为：

(2)中段是以3米/秒的速度作匀速直线运动6秒钟，应用公式S=vt，得到在这6秒钟内升降机上升的路程S₂：S₂=3米/秒×6秒=18米。

(3)最后3秒钟是作匀减速运动，v₀=3米/秒，v=0，所以应用公式v=v₀-at，得0=3米/秒-a×3秒；  ∴a=1米/秒²，

再用公式S=v₀t-1/2at²，并以v₀=3米/秒，t=3秒，a=1米/秒²代入就得到升降机在最后3秒钟内所通过的路程S₃：S₃=3米/秒×3秒-1/2×1米/秒²×3²秒²=4.5米。

所以在这14秒钟内上升的总路程S为：S=S₁+S₂+S₃=7.5米+18米+4.5米=30米。

(4)各段的速度图线如图5·9所示。第一段5秒钟内所通过的路程的数值等于△OAE的面积，即1/2×3×5=7.5；第二段6秒钟内所通过的路程的数值等于长方形ABDE的面积，即3×6=18；最后一段3秒钟内所通过的路程的数值等于△BCD的面积，即1/2×3×3=4.5。所以在这14秒钟内所通过的总路程是7.5+18+4.5=30米。

所以，(1)在升降机开始上升的5秒钟内，加速度等于0.6米/秒²，并通过了7.5米的路程；(2)然后作匀速直线运动6秒钟，并通过了18米的路程；(3)在最后3秒钟内，升降机作匀减速直线运动，加速度是-1米/秒²，并通过了4.5米的路程；(4)这样，升降机在这14秒钟内一共上升了30米的路程。

习题5-4

1、作v₀=0，a=4厘米/秒²的匀加速直线运动的速度图线，并求出它运动5秒钟后所通过的路程。【50厘米】

2、作v=8米/秒，a=-1米/秒²的匀减速直线运动的速度图线，并求出它在停止运动前所通过的路程。【32米】

3、汽车在过桥以后最初5分钟用5米/秒的速度作匀速直线运动，后来又用0.25米/秒²的加速度作匀加速直线运动，再经过20秒钟时经过一所学校的大门，求汽车在经过学校大门时的速度和桥到大门的距离，并作出汽车的速度图线。【10米/秒，1650米】

4、一个从静止开始作匀加速运动的物体，在第一秒未的速度是1米/秒。问它在前2秒钟内、前5秒钟内所通过的路程分别是多少？它在第5秒末的速度是多少？它在第5秒内通过的路程是多少？画出它的速度图线。[提示：第5秒内通过的路程可以用前5秒钟内通过的路程减去前4秒钟内通过的路程来求得]【2米，12.5米，5米/秒，4.5米】